【Bộ Giáo dục Nhân dân】Toán học Trung học Phổ thông, Chọn lọc Bắt buộc Tập 3 (Phiên bản A): Căn bản đếm: Nguyên lý cộng phân loại và nguyên lý nhân theo bước

Đếm (Counting)bản chất là 'đếm ra số thứ tự có thể trong một phương án nào đó'. Nó là nền tảng của toán học tổ hợp, nhằm phân tích logic để chuyển đổi các sự kiện tổng thể phức tạp thành các thao tác cục bộ đơn giản, loại trừ lẫn nhau hoặc theo thứ tự.

Hãy tưởng tượng bạn muốn vào một sân vườn:
1. Nguyên lý cộng phân loại (song song): Có $m$ cổng ở bên trái tường, $n$ cổng ở bên phải. Bạn chỉ cần chọn một cổng là có thể đi vào. Số cách: $m + n$.
2. Nguyên lý nhân theo bước (nối tiếp): Bạn phải vượt qua hai bức tường, bức tường đầu tiên có $m$ cổng, bức tường thứ hai có $n$ cổng. Bạn phải vượt qua cả hai cánh cửa liên tiếp. Số cách: $m \times n$.

Định nghĩa cốt lõi của nguyên lý đếm

Nguyên lý đếm cộng phân loại: Đối với bài toán 'phân loại', mỗi nhóm phương án đều có thể hoàn thành nhiệm vụ độc lập. Cốt lõi là phép hợp rời rạc của tập hợp: $N = m_1 + m_2 + \dots + m_n$.

Nguyên lý đếm nhân theo bước：针对“分步”问题，各步骤相互依存，必须完成所有步骤才算完成任务。核心是路径的笛卡尔积：$N = m_1 \times m_2 \times \dots \times m_n$。

Phân loại nhấn mạnh 'độc lập và đầy đủ', phân bước nhấn mạnh 'phụ thuộc và liên tục'.

Phân loại độc lập $\implies \sum n_i$
Phân bước liên tục $\implies \prod m_i$

CÂU HỎI 1

Một công việc có thể hoàn thành bằng 2 phương pháp khác nhau; có 5 người chỉ biết dùng phương pháp thứ nhất, 4 người chỉ biết dùng phương pháp thứ hai. Nếu chọn ngẫu nhiên 1 người để hoàn thành công việc này, thì có bao nhiêu cách chọn khác nhau?

CÂU HỎI 2

Từ làng A đến làng B có 3 con đường, từ làng B đến làng C có 2 con đường. Vậy từ làng A đi qua làng B đến làng C, có bao nhiêu tuyến đường khác nhau?

CÂU HỎI 3

Trong Ví dụ 1, nếu trường A có 6 chuyên ngành để lựa chọn, trường B có 4 chuyên ngành để lựa chọn. Nếu sử dụng nguyên lý cộng phân loại để tính tổng là $6 + 4 = 10$, thì khi nào kết luận này sẽ sai?

Khi trường A nổi tiếng hơn trường B

Khi hai trường đại học có cùng một chuyên ngành

Khi sinh viên chỉ muốn đăng ký một chuyên ngành

Khi trường A có nhiều chuyên ngành hơn trường B

CÂU HỎI 4

Tầng trên kệ sách có 6 cuốn sách Toán khác nhau, tầng dưới có 5 cuốn sách Ngữ văn khác nhau. Lấy ngẫu nhiên mỗi loại 1 cuốn từ kệ sách, có bao nhiêu cách lấy khác nhau?

CÂU HỎI 5

Hiện có 3 học sinh lớp 10, 5 học sinh lớp 11, 4 học sinh lớp 12. Chọn ngẫu nhiên 1 người tham gia hoạt động, có bao nhiêu cách chọn khác nhau?

CÂU HỎI 6

Trong các số từ 1 đến 500, có bao nhiêu số chia cho 5 dư 2?

100

101

CÂU HỎI 7

Sau khi khai triển tích $(a_1 + a_2 + \dots + a_m)(b_1 + b_2 + \dots + b_n)$, có bao nhiêu hạng tử?

$m+n$

$m \times n$

$2(m+n)$

$m^n$

CÂU HỎI 8

Một số điện thoại gồm 8 chữ số, 4 chữ số đầu cố định, 4 chữ số cuối là bất kỳ chữ số nào từ 0 đến 9. Số lượng số điện thoại khác nhau tối đa là bao nhiêu?

$10 \times 4 = 40$

$10^4 = 10000$

$4^{10}$

$9^4$

CÂU HỎI 9

Số đường chéo của một hình mười hai cạnh đều là bao nhiêu?

132

CÂU HỎI 10

Nếu một tập hợp có $n$ phần tử, thì tập hợp này có bao nhiêu tập con?

$n^2$

$2n$

$2^n$

$n!$